Linear motion(DERIVATIVE)-3

1: একটি বস্তু 6.25m/sবেগে গতিশীল।  এর মন্দন  সম্পর্কিত সমীকরণ হলো \(\frac {dv}{dt}=-2.5\sqrt{v}\)।এখানে v হলো তাৎক্ষণিক বেগ।  বস্তুটি  যে সময়ে স্থির হবে -
a)5s            

b)4s          

c)2s         

d)2.5s.

2: t=0 সময়ে x=0  বিন্দু থেকে যাত্রা শুরু করে একটি কণা x অক্ষ  বরাবর v  বেগে চলছে। যদি কনাটির  বেগ ও সরণের সম্পর্ক   \(v=\alpha\sqrt{x}\)  হয় তবে সরণ  সময়ের সঙ্গে যেভাবে পরিবর্তিত হয় তা হল -
a)    \(t^3\)           

 b)    \(t^2\)         

c)    \(t\)        

d)    \(t^{\frac{1}{2}}\)

3: স্থির অবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করে কোন বস্তুকণার tসময় পর ত্বরণ a হলে  যদি \(a=3t+4\) হয় তবে 2 সেকেন্ড পর বস্তুকণার বেগ হবে-
a)15m/s                 

b)20m/s            

c)12m/s         

d)14m/s.

 4: একটি গতিশীল কণার ক্ষেত্রে সময় t ও দূরত্ব  x এর মধ্যে সম্পর্কটি হল \(t=mx^2+nx\); যেখানে m ও n হল ধ্রুবক। বস্তুর মন্দন  (যেখানে v বেগ নির্দেশ করে )-
a)\(2mv^3\)     

b)\(2mnv^3\)        

c)\(2nv^3\)     

d)\(2n^2v^3\).

5: সরলরেখা বরাবর গতিশীল একটি কন্যার তাৎক্ষণিক বেগ\(V=\alpha{t}+\beta{t^2}\) ; যেখানে \(\alpha\) ও \(\beta\) ধ্রুবক।1s ও  2s সময়ের মধ্যে কণাটির দ্বারা অতিক্রান্ত  দূরত্ব -
a)\(3\alpha+7\beta\)                                 

b)\(\frac{3}{2}\alpha+\frac{7}{3}\beta\)   

c)\(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{3}\)         

d)\(\frac{3}{2}\alpha+\frac{7}{2}\beta\)

6: একটি বস্তুকণার বেগের সমীকরণ \(v=v_0+gt+ft^2\) । t=0সময়ে বস্তুটির অবস্থান  x=0  হলে 1s  পরে কণাটির সরণ -
a)\(v_0+2g+3f\) 
b)\(v_0+\frac{g}{2}+\frac{f}{3}\)  
c)\(v_0+g+f\) 
d)\(v_0+\frac{g}{2}+f\) 

7:t=0  সময়ে একটি বস্তুকণা x=0  অবস্থানে রয়েছে।এবার বস্তুকণাটি  \(v=\alpha\sqrt{x}\)[\(\alpha\)=ধ্রুবক ] বেগ নিয়ে ধনাত্মক x আক্ষ  বরাবর চলতে শুরু করল। বস্তুটির সরণ সময়ের সাথে কিভাবে পরিবর্তিত হয় ?
a)\(t^2\)   
b)\(t\) 
c)\(t^{\sqrt{2}}\) 
d)\(t^3\)

8:একটি বস্তু কনর বেগ v=at।  ওই বাস্তুকণাটি প্রথম 4s এ যে দূরত্ব অতিক্রম করে তা হল-
a)4a 
b)8a 
c)12a 
d)6a

9:tসময়ে কোনো কনার গতিবেগ ,\(v=at+bt^2\)সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। t=1s এ বস্তুকণার ত্বরণ হবে -
a )(\(a+b)^2\)           b)(\(a+2b)\)          

c)(\(2a+2b)\)         d)(\(2a+3b)\)

10: একটি পাখি  ।t-2|m/s বেগে সরলরেখা বরাবর আকাশে উড়ছে। এখানে t =সময়।  4s সময়ে পাখির অতিক্রান্ত দূরত্ব 
a)6m         b)8 m             c)2m             d)4m.

ANSWER

1C 2B D 4A 5B 6B 7A 8B 9B 10D

1:

1: একটি বস্তু 6.25m/sবেগে গতিশীল।  এর মন্দন  সম্পর্কিত সমীকরণ হলো \(\frac {dv}{dt}=-2.5\sqrt{v}\)।এখানে v হলো তাৎক্ষণিক বেগ।  বস্তুটি  যে সময়ে স্থির হবে -
a)5s            

প্রদত্ত মন্দনের সমীকরণ:

$$\frac{dv}{dt} = -2.5\sqrt{v}$$$$\frac{dv}{\sqrt{v}}=-2.5dt$$ $$\int \frac{dv}{\sqrt{v}}=\int -2.5dt$$ $$\int v^{-\frac{1}{2}} dv = 2v^{\frac{1}{2}}$$$$2\sqrt{v} = -2.5t + C$$

প্রথমে যখন t = 0, তখন v = 6.25 m/s,

$$2\sqrt{6.25} = -2.5(0) + C$$
$$2(2.5) = C$$
$$C = 5$$

তাহলে সমীকরণ দাঁড়ায়:

$$2\sqrt{v} = -2.5t + 5$$

 বস্তুর স্থির হওয়ার সময় নির্ণয় (v = 0)

$$2\sqrt{0} = -2.5t + 5$$
$$0 = -2.5t + 5$$
$$2.5t = 5$$
$$t = \frac{5}{2.5} = 2 \text{ সেকেন্ড}$$

উত্তর:(c) 2s

2: t=0 সময়ে x=0  বিন্দু থেকে যাত্রা শুরু করে একটি কণা x অক্ষ  বরাবর v  বেগে চলছে। যদি কনাটির  বেগ ও সরণের সম্পর্ক   \(v=\alpha\sqrt{x}\)  হয় তবে সরণ  সময়ের সঙ্গে যেভাবে পরিবর্তিত হয় তা হল -

প্রদত্ত গতি সমীকরণ:

$$v=\alpha \sqrt{x}$$

আমরা জানি,

$$v = \frac{dx}{dt}$$$$\frac{dx}{dt} = \alpha \sqrt{x}$$

এখন,

$$\frac{dx}{\sqrt{x}}=\alpha dt$$

আমরা জানি,

$$\int x^{-\frac{1}{2}} dx = 2x^{\frac{1}{2}}$$

তাহলে,

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int \alpha dt$$
$$2\sqrt{x}=\alpha t+C$$

প্রশ্নে বলা হয়েছে, t = 0 হলে x = 0, তাই

$$2\sqrt{0} = \alpha(0) + C$$
$$C = 0$$

তাহলে, সমীকরণ হবে

$$2\sqrt{x} = \alpha t$$ $$\sqrt{x}=\frac{\alpha }{2}t$$

উভয় পাশে বর্গ করলে,

$$x = \left( \frac{\alpha}{2} t \right)^2$$
$$x=\frac{{\alpha }^2}{4}{t}^2$$ $$x \propto t^2$$

উত্তর: (b) \(t^2\).

প্রদত্ত ত্বরণ সমীকরণ:

$$a = 3t + 4$$

আমরা জানি,

$$a = \frac{dv}{dt}$$

Step 1: উভয় পাশে সমাকলন করে পাই 

$$\int dv = \int (3t + 4) dt$$
$$v = \int 3t dt + \int 4 dt$$
$$v=\frac{3t^2}{2}+4t+C$$

প্রশ্নে বলা হয়েছে, t = 0 হলে v = 0, তাই

$$0 = \frac{3(0)^2}{2} + 4(0) + C$$
$$C = 0$$

তাহলে, বেগের সমীকরণ হবে:

$$v = \frac{3t^2}{2} + 4t$$

 $t = 2$সেকেন্ড পর বেগ

$$v = \frac{3(2)^2}{2} + 4(2)$$
$$= \frac{3(4)}{2} + 8$$
$$= \frac{12}{2} + 8$$
$$= 6 + 8 = 14 \text{ m/s}$$

উত্তর:d)14 m/s

৪:প্রদত্ত সম্পর্ক:

$$t = mx^2 + nx$$

আমরা বেগ এবং ত্বরণ বের করার জন্য ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ করব।

 বেগ $v$ নির্ণয়

আমরা জানি,

$$v = \frac{dx}{dt}$$

দেওয়া সমীকরণ থেকে $x$-এর জন্য dt দ্বারা অন্তরীকরণ করলে পাই:

$$\frac{dt}{dx}=2mx+n$$

অতএব,

$$v = \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2mx + n}$$

 ত্বরণ $a$ নির্ণয়

আমরা জানি,

$$a = \frac{dv}{dt} = v \frac{dv}{dx}$$$$\frac{dv}{dx} = -\frac{2m}{(2mx + n)^2}$$

অতএব,

$$a = v \cdot \frac{dv}{dx}$$ $$= \frac{1}{2mx + n} \times \left( -\frac{2m}{(2mx + n)^2} \right)$$
$$= -\frac{2m}{(2mx + n)^3}$$

এখন, $v = \frac{1}{2mx + n}$ বসালে পাই:

$$a = -2m v^3$$

উত্তর:

৫:

প্রদত্ত বেগের সমীকরণ:

$$V = \alpha t + \beta t^2$$

আমরা অতিক্রান্ত দূরত্ব বের করতে সমাকলন পদ্ধতি ব্যবহার করবো।

Step 1: অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র

আমরা জানি,

$$dx = v dt$$

অতএব,

$$s = \int v dt = \int (\alpha t + \beta t^2) dt$$

Step 2: 1s থেকে 2s এর মধ্যে সমাকলন

$$s = \int_{1}^{2} (\alpha t + \beta t^2) dt$$

আমরা জানি,

$$\int t dt = \frac{t^2}{2}, \quad \int t^2 dt = \frac{t^3}{3}$$

তাহলে,

$$s = \left[ \alpha \frac{t^2}{2} + \beta \frac{t^3}{3} \right]_{1}^{2}$$

Step 3: সীমা বসানো

প্রথমে t = 2 বসাই:

$$\alpha \frac{2^2}{2} + \beta \frac{2^3}{3}$$ $$= \alpha \frac{4}{2} + \beta \frac{8}{3}$$ $$= 2\alpha + \frac{8}{3} \beta$$

এরপর t = 1 বসাই:

$$\alpha \frac{1^2}{2} + \beta \frac{1^3}{3}$$ $$= \alpha \frac{1}{2} + \beta \frac{1}{3}$$ $$= \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{3}$$

Step 4: পার্থক্য নেওয়া

$$s = \left(2\alpha + \frac{8}{3} \beta \right) - \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{3} \right)$$
$$= 2\alpha - \frac{\alpha}{2} + \frac{8}{3} \beta - \frac{\beta}{3}$$ $$= \frac{4\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2} + \frac{8\beta}{3} - \frac{\beta}{3}$$ $$= \frac{3\alpha}{2} + \frac{7\beta}{3}$$

উত্তর:

৬:প্রদত্ত বেগের সমীকরণ:

$$v = v_0 + gt + ft^2$$

আমরা জানি,

$$dx = v dt$$

অতএব, সরণ নির্ণয়ের জন্য আমরা 1 সেকেন্ড পর্যন্ত সমাকলন করবো।

---

Step 1: সরণের সমীকরণ

$$s = \int v dt = \int (v_0 + gt + ft^2) dt$$

আমরা জানি,

$$\int dt = t, \quad \int t dt = \frac{t^2}{2}, \quad \int t^2 dt = \frac{t^3}{3}$$

তাহলে,

$$s = \left[ v_0 t + \frac{gt^2}{2} + \frac{ft^3}{3} \right]_{0}^{1}$$

---

Step 2: সীমা বসানো

প্রথমে t = 1 বসাই:

$$s = v_0(1) + \frac{g(1)^2}{2} + \frac{f(1)^3}{3}$$ $$= v_0 + \frac{g}{2} + \frac{f}{3}$$

---

উত্তর:

৭:প্রদত্ত গতি সমীকরণ:$$v = \alpha \sqrt{x}$$

আমরা জানি,

$$v = \frac{dx}{dt}$$

অতএব,

$$\frac{dx}{dt} = \alpha \sqrt{x}$$

Step 1: ভেরিয়েবল আলাদা করা

$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = \alpha dt$$

এখন, উভয় পাশে সমাকলন করি

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int \alpha dt$$

আমরা জানি,

$$\int x^{-\frac{1}{2}} dx = 2x^{\frac{1}{2}}$$

সুতরাং,

$$2\sqrt{x} = \alpha t + C$$

Step 2: প্রাথমিক শর্ত প্রয়োগ

প্রশ্নে বলা হয়েছে, t = 0 হলে x = 0, তাই

$$2\sqrt{0} = \alpha(0) + C$$
$$C = 0$$

তাহলে, সমীকরণ দাঁড়ায়:

$$2\sqrt{x} = \alpha t$$
$$\sqrt{x} = \frac{\alpha}{2} t$$

Step 3: সরণের পরিবর্তন বিশ্লেষণ

উভয় পাশে বর্গ করলে,

$$x = \left( \frac{\alpha}{2} t \right)^2$$
$$x = \frac{\alpha^2}{4} t^2$$

অতএব, x ∝ $t^2$

---

উত্তর:

৮:৮:প্রদত্ত বেগের সমীকরণ:

$$v = at$$

আমরা জানি,

$$dx = v dt$$

অতএব, সরণ নির্ণয়ের জন্য আমরা t = 0 থেকে t = 4s পর্যন্ত সমাকলন করবো।

---

Step 1: সরণের সমীকরণ

$$s = \int v dt = \int at dt$$

আমরা জানি,

$$\int t dt = \frac{t^2}{2}$$

তাহলে,

$$s = a \int t dt = a \frac{t^2}{2}$$

---

Step 2: সীমা বসানো

প্রথমে t = 4s এবং t = 0s বসাই:

$$s = a \times \frac{4^2}{2} - a \times \frac{0^2}{2}$$ $$= a \times \frac{16}{2} - 0$$ $$= a \times 8$$ $$= 8a$$

---

উত্তর:

৯:প্রদত্ত বেগের সমীকরণ:

$$v = at + bt^2$$

আমরা জানি, ত্বরণ হল বেগের সময় অনুযায়ী অন্তরজ (derivative):

$$a = \frac{dv}{dt}$$

---

Step 1: বেগের অন্তরজ নেওয়া

$$\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (at + bt^2)$$

আমরা জানি,

$$\frac{d}{dt} (t) = 1, \quad \frac{d}{dt} (t^2) = 2t$$

তাহলে,

$$a = a + 2bt$$

---

Step 2: t = 1s বসানো

$$a = a + 2b(1)$$ $$= a + 2b$$

---

উত্তর:

১০:

প্রদত্ত বেগের সমীকরণ:

$$v = |t - 2|$$

আমরা অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয়ের জন্য t = 0 থেকে t = 4s পর্যন্ত সমাকলন করবো।

---

Step 1: বিভিন্ন সময় অন্তর বেগ বিশ্লেষণ

বেগের সমীকরণ:

$$v = |t - 2|$$

এটি t = 2s পয়েন্টে পরিবর্তিত হবে। তাই আমাদের 0 থেকে 2s এবং 2 থেকে 4s আলাদাভাবে হিসাব করতে হবে।

(i) $0 \leq t < 2$

$$t - 2 < 0 \Rightarrow v = -(t - 2) = 2 - t$$

(ii) $t \geq 2$:

$$t - 2 \geq 0 \Rightarrow v = t - 2$$

---

Step 2: দূরত্ব নির্ণয় (সমাকলন)

(i) $0 \leq t < 2$:

$$s_1 = \int_0^2 (2 - t) dt$$

$$= \left[ 2t - \frac{t^2}{2} \right]_0^2$$$$= \left( 2(2) - \frac{2^2}{2} \right) - \left( 2(0) - \frac{0^2}{2} \right)$$$$= (4 - 2) - (0 - 0) = 2$$

---

(ii) $2 \leq t < 4$:

$$s_2 = \int_2^4 (t - 2) dt$$

s2​=∫24​(t−2)dt $$={[\frac{t^2}{2}-2t]}_2^4$$

$$= \left[ \frac{t^2}{2} - 2t \right]_2^4$$

=[2t2​−2t]24​ $$=(\frac{4^2}{2}-2(4))-(\frac{2^2}{2}-2(2))$$

$$= \left( \frac{4^2}{2} - 2(4) \right) - \left( \frac{2^2}{2} - 2(2) \right)$$

=(242​−2(4))−(222​−2(2)) $$=(\frac{16}{2}-8)-(\frac{4}{2}-4)$$

$$= \left( \frac{16}{2} - 8 \right) - \left( \frac{4}{2} - 4 \right)$$

=(216​−8)−(24​−4) $$(8 - 8) - (2 - 4) = 0 + 2 = 2$$

---

Step 3: মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব

$$s = s_1 + s_2 = 2 + 2 = 4$$

---

উত্তর:

HOME