অভিকর্ষজ ত্বরণের পরিবর্তন

(VARIATION OF ACCELERATION DUE TO GRAVITY)

আলোচ্য বিষয় :-

i)পৃথিবীপৃষ্ঠ থেকে উচ্চতার জন্য অভিকর্ষজ ত্বরণের পরিবর্তন।

 ii)পৃথিবীপৃষ্ঠ থেকে অভ্যন্তরে যাওয়ার জন্য অভিকর্ষজ ত্বরণের পরিবর্তন। 

iii)পৃথিবীর আহ্নিক  গতির জন্য অভিকর্ষজ ত্বরণের পরিবর্তন।

1)পৃথিবীপৃষ্ঠ থেকে উচ্চতার জন্য অভিকর্ষজ ত্বরণের পরিবর্তন(Variation of g with height)

মনে করি পৃথিবীর ভর M এবং ব্যাসার্ধ R।পৃথিবীপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g=\frac{GM}{R^2}\)

 

পৃথিবী পৃষ্ঠ থেকে  h উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ

\(g'=\frac{GM}{(R+h)^2}\)



[R+h =বস্তু ও পৃথিবীর কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব ]
\(\therefore\frac{g'}{g}=\frac{\frac{GM}{(r+h)^2}}{\frac{GM}{R^2}}\)
=\(\frac{R^2}{(R+h)^2}\)
\(=\frac{1}{(\frac{R+h}{R})^2}\)
\(=\frac{1}{(1+\frac{h}{r})^2}\)
\(=(1+\frac{h}{R})^{-2}\)
\(=1-\frac{2h}{R}\)[\(\because h<<R\)
\(g'=g(1-\frac{2h}{R})\)
অতএব h উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের হ্রাস 
\(g-g'=\frac{2hg}{R}\)

2) পৃথিবীপৃষ্ঠ থেকে অভ্যন্তরে যাওয়ার জন্য অভিকর্ষজ ত্বরণের পরিবর্তন (Variation of g with depth).

মনেকরি, পৃথিবী একটি R ব্যাসার্ধের গোলক যার ঘনত্ব  \(\rho\) । অতএব পৃথিবীর ভর M পৃথিবীপৃষ্ঠে অবস্থিত m ভরের বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল অভিকর্ষজ ত্বরণ 

\(g=\frac{GM}{R^2}=\frac{G\frac{4}{3}\pi{R^3}\rho}{R^2}\)

\(=G\frac{4}{3}\pi{R}\rho\)..............i)

মনে করি m ভরের বস্তুটিকে পৃথিবীপৃষ্ঠ থেকে h গভীরতায় নিয়ে যাওয়া হলো ।এখন পৃথিবীর কেন্দ্র ও বস্তুটির মধ্যে দূরত্ব (R-h)। বস্তুটির উপর (R-h) ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট অভ্যন্তরীণ গোলক অংশটির জন্যই কেবল অভিকর্ষ বল ক্রিয়া করে । h বেধের অংশের জন্য কোন অভিকর্ষ বল বস্তুটির উপর ক্রিয়া করে না ।অভ্যন্তরীণ গোলক ও বস্তুর মধ্যে ক্রিয়াশীল অভিকর্ষ বল

\(F=\frac{GM'm}{(R-h)^2}\) [M'=mass of the sphere of radius (R-h)]

\(=\frac{G\frac{4}{3}\pi{(R-h)^3\rho}m}{(R-h)^2}\)

\(=G\frac{4}{3}\pi(R-h)\rho{m}\)

পৃষ্ঠ থেকে h গভীরতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ 

\(g'=\frac{F}{m}=G\frac{4}{3}\pi(R-h)\rho\)...............ii)

\(\therefore\frac{g'}{g} =\frac{G\frac{4}{3}\pi(R-h)\rho}{G\frac{4}{3}\pi{R}\rho}\)

\(=\frac{(R-h)}{R}=1-\frac{h}{R}\)

\(g'=g(1-\frac{h}{R})\)

সুতরাং অভিকর্ষজ ত্বরণের পরিবর্তন

\({g-g'}=\frac{hg}{R}\)

3) পৃথিবীর আবর্তন গতির জন্য অভিকর্ষজ ত্বরণের পরিবর্তন (Variation of g with latitude).

মনে করি, পৃথিবীপৃষ্ঠের A বিন্দুতে m ভর বিশিষ্ট একটি বস্তুকণা রাখা আছে ।O পৃথিবীর কেন্দ্র,  R পৃথিবীর ব্যাসার্ধ এবংA বিন্দুর অক্ষাংশ \(\theta\)

 পৃথিবীর আবর্তন গতির জন্য পৃথিবীপৃষ্ঠে অবস্থিত সকল বস্তুই পৃথিবীর অক্ষের চারিদিকে একই কৌণিক বেগে আবর্তন করে।  পৃথিবীর কৌনিকবেগ \(\omega\) হলে A বিন্দুর বস্তুটিও  

CA=r=Rcos\(\theta\) ব্যাসাদের বৃত্ত পথে \(\omega\) কৌণিক বেগে আবর্তন করবে ।বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল অভিকর্ষজ বল mg  AO  অভিমুখে ক্রিয়াশীল ।অপকেন্দ্র বল \(m{\omega}^2{r}\)এর OAE অভিমুখে উপাংশ\(m{\omega}^2{r}cos\theta\) । \(m{\omega}^2{r}cos\theta\) অভিকর্ষ বলের বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে। অতএব এই অবস্থানে বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল আপাত ওজন 

\(F'=mg-m{\omega}^2{r}cos\theta\) 

A বিন্দুতে অভিকর্ষজ ত্বরণের আপাতমান 
\(g_1=g-{\omega}^2rcos\theta\)
\(g_1=g-{\omega}^2{(Rcos\theta})cos\theta\) [\(\because r=Rcos\theta\)]
\(g_1=g-{\omega}^2Rcos^2\theta\)
সুতরাং অভিকর্ষজ ত্বরণের পরিবর্তন \(g-g'={\omega}^2{R}cos^2\theta\)

 
কয়েকটি জ্ঞাতব্য বিষয় 


1.পৃথিবীর কেন্দ্রে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান  শূন্য। 

2.পৃথিবী পৃষ্ঠ থেকে উপরে উঠলে বা পৃষ্ঠ থেকে গভীরে গেলে উভয় ক্ষেত্রে g এর মান হ্রাস পায়। হিসাবে দেখা যায়,hউচ্চতায় ওঠার জন্য অভিকর্ষজ ত্বরণের পরিবর্তন, h গভীরতার জন্য এর পরিবর্তনের দ্বিগুন হয়।

3.পৃথিবীর আবর্তন বেগের পরিবর্তনে g এর পরিবর্তন হয়।আবর্তন বেগ বৃদ্ধি পেলেgএর মান  হ্রাস পায়। আবর্তন বেগের পরিবর্তনে নিরক্ষীয়  অঞ্চলে g এর পরিবর্তন  সর্বাধিক এবং মেরু অঞ্চলে g এর পরিবর্তন সর্বনিম্ন হয় । 
4.কোনো কারনে পৃথিবীর বেগ থেমে গেলে g এর মান  বৃদ্ধি পাবে। ফলে বস্তুর ওজন বৃদ্ধি পাবে ।কিন্তু মেরু অঞ্চলে g এবং   ওজনের কোন পরিবর্তন হবে না।

4.পৃথিবীর কৌণিকবেগ \(1.24x10^{-3}\) rad/s হলে নিরক্ষীয় অঞ্চলে ভারহীন অবস্থার সৃষ্টি হয়। ওই অবস্থায় 1 দিনের দৈর্ঘ্য হয় 84 min36 sec.