পয়েন্টিং ভেক্টর প্রমাণ — Poynting Vector

পদার্থবিজ্ঞানের তড়িৎচৌম্বকীয় তরঙ্গ অধ্যায়ে পয়েন্টিং ভেক্টর একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা। এটি একটি ভেক্টর যা কোন অঞ্চলের মধ্য দিয়ে তড়িৎচৌম্বকীয় শক্তির প্রবাহের হার ও দিক নির্দেশ করে। গাণিতিকভাবে এটি সংজ্ঞায়িত হয় —

\[ \vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \left( \vec{E} \times \vec{B} \right) \]

প্রমাণ

1. তড়িৎ শক্তি ঘনত্ব: \[ u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 \] \[ u_B = \frac{1}{2\mu_0} B^2 \] সুতরাং মোট শক্তি ঘনত্ব: \[ u = u_E + u_B \]
2. শক্তি সঞ্চয়ের নীতি (Poynting’s theorem): \[ \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{S} + \vec{J} \cdot \vec{E} = 0 \]
3. Maxwell সমীকরণ: \[ \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \] \[ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \]
4. ভেক্টর নীতি প্রয়োগ: \[ \nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{B}) = \vec{B} \cdot (\nabla \times \vec{E}) - \vec{E} \cdot (\nabla \times \vec{B}) \] Maxwell সমীকরণ বসিয়ে পাওয়া যায়: \[ \nabla \cdot \left( \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B} \right) + \frac{\partial u}{\partial t} + \vec{J} \cdot \vec{E} = 0 \]
5. তুলনা: \[ \vec{S} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B}) \]

ভৌত অর্থ

পয়েন্টিং ভেক্টরের দিক নির্দেশ করে তড়িৎচৌম্বকীয় শক্তি কোন দিকে প্রবাহিত হচ্ছে এবং এর মান নির্দেশ করে প্রতি একক ক্ষেত্রফল দিয়ে প্রতি একক সময়ে কত শক্তি প্রবাহিত হচ্ছে।

💡 মনে রাখার টিপস:

• দিক: \(\vec{E} \times \vec{B}\)
• মান: \(\frac{EB}{\mu_0}\) (শূন্যস্থানে)
• শক্তি পরিবহণের হার মাপে

প্রয়োগ

• তড়িৎচৌম্বকীয় তরঙ্গের শক্তি পরিবহণ
• অ্যান্টেনা ডিজাইন
• ওয়্যারলেস পাওয়ার ট্রান্সফার