📚 অভিকর্ষের অধীনে অবাধে পতনশীল বস্তুর গতি

অভিকর্ষের অধীনে অবাধে পতনশীল বস্তুর গতির সমীকরণ 
  • \( v = u + g t \)
  •  \( h = ut + \frac{1}{2} g  t^2 \)
  •  \( v^2 = u^2 + 2gh \)
  •  \( h_n = u + \frac{1}{2} g (2n - 1) \)
স্থির অবস্থা থেকে ছেড়ে দেওয়া হলে 
  • \( v = g t \)
  •  \( s = \frac{1}{2} g  t^2 \)
  •  \( v^2 =  + 2gh \)
  •  \( h_n = \frac{1}{2} g (2n - 1) \)
ভূপৃষ্ঠ থেকে উর্ধে উৎক্ষিপ্ত বস্তুর ক্ষেত্রে গতির সমীকরণ 
    • \( v = u - gt \)
    •  \( h = ut -\frac{1}{2} g t^2 \)
    •  \( v^2 = u^2 - 2gh \)
    •  \( h_n = u - \frac{1}{2} g (2n - 1) \)
    ভূপৃষ্ঠ থেকে উর্ধে উৎক্ষিপ্ত বস্তুর সর্বাধিক উচ্চতা আরোহন 
    $ v^2 = u^2 - 2gh $
    $ 0^2 = u^2 - 2gh $  [সর্বাধিক উচ্চতায় v=০]
    $u^2=2gh$ 
    $h=\frac{u^2}{2g}$

    আরোহনকাল এবং অবতরণ কাল আরোহন এবং অবতরণের মোট সময় 
    i)আরোহন কাল 
    $ v = u - gt_1 $
    বা,$0=u-gt_1$ [∵সর্বাধিক উচ্চতায় v=০]
    বা,$u=gt_1$
     ∴ $t_1$=$\frac{u}{g}$
    ii)অবতরণ কাল $t_2$=$\frac{u}{g}$ [ অবতরণ কালেরমান  আরোহণকালের মানের সমান হয়]
    আরোহন ও  অবতরণের মোট সময়
     T=$t_1+t_2=\frac{2u}{g}$

    📚আরোহনকাল ,অবতরণ কাল ,আরোহন এবং অবতরণের মোট সময় এর মান  বস্তুর ভরের উপর নির্ভর করে না। 
    কয়েকটি  জ্ঞাতব্য বিষয় 
    • একটি বস্তুকে u দ্রুতিতে উপরের দিকে ছুড়লে এটি u দ্রুতিতেই উৎক্ষেপ বিন্দুতে ফিরে  আসে। 
    • উলম্ব দিকে উৎক্ষেপ বেগ  u হলে উৎক্ষেপ বিন্দুতে বস্তুটি  -u বেগে ফিরে  আসে সেটি।
    • বস্তুটি উপরের দিকে উঠার সময় শেষ এক সেকেন্ড সময়ে যে দূরত্ব অতিক্রম করে সর্বোচ্চ  বিন্দু থেকে  নিচে নামার সময় প্রথম এক সেকেন্ডে সেই  একই দূরত্ব অতিক্রম করে। 
    • উৎক্ষিপ্ত বস্তুটি যখন প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে  আসে তখন সরণ ও গড় বেগ শূন্য হয়, কিন্তু অতিক্রান্ত দূরত্ব ও দ্রুতি  শূন্য হয় না।  
    • বাতাসের বাধাকে হিসাবে ধরা হলে  আরোহন কাল অপেক্ষা অবতরণ কালের মান  বেশি হয়। 
    • স্থির অবস্থা থেকে সমত্বরনে গতিশীল কোন বস্তু কর্তৃক  1s,2s,3s সময়ে অতিক্রান্ত  দুরত্বের অনুপাত  $1^2$:$2^2$:$3^2$=1:4:9.এক্ষেত্রে প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয়  সেকেন্ডে দূরত্বের অনুপাত 1:3:5।
    • স্থিরাবস্থা থেকে সমত্বরনে  গতিশীলবস্তু  তার গতির প্রথম,দ্বিতীয় ও তৃতীয়. . .n তম  সেকেন্ডে যে  দূরত্ব অতিক্রম করে তাদের অনুপাত 1:3:5 ......(2n-1) এই সমান্তর শ্রেণী গঠন করে। এই দূরত্ব গুলি$(1^2-0^2$):($2^2-1^2$):($3^2-2^2$) ........{$n^2-(n-1)^2$}অনুপাতে থাকে। 
    • একটি নির্দিষ্ট উচ্চতা থেকে একটি বস্তুকে নির্দিষ্ট বেগে উর্ধে উৎক্ষেপ করা হল। $t_1$সময় পরে ভূমি স্পর্শ করল। একই বেগে ওই উচ্চতা থেকে বস্তুটিকে নিম্নে নিক্ষেপ করলে ভূমি স্পর্শ করতে  $t_2$  সময় নেয়। ওই উচ্চতা থেকে  বস্তুটিকে ছেড়ে দিলে বস্তুটি     $t=\sqrt{t_1t_2}$ সময়ে ভূমি স্পর্শ করবে।  
    🔹 গাণিতিক সমস্যা ও তার সমাধান
     
    1..একটি বলকে 19.6m/sবেগে উর্দ্বে উৎক্ষেপ করা হল এবং বলটি মাটিতে ফিরে  এল। নিম্নলিখিত রাশিগুলির মান  নির্নয় করো। 
    i)অতিক্রান্ত দূরত্ব কত?
    ii)সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছাতে প্রয়োজনীয় সময় কত?
    iii)সর্বাধিক উচ্চতা 
    iv)পূর্বের অবস্থানে ফায়ার আস্তে প্রয়োজনীয় সময় কত?
    v)বস্তুর সরণ কত?
    vi)গড় দ্রুতি কত? 
    vii)গড় বেগ কত?
    viii)পূর্বের অবস্থানের কতবেগে ফিরে  আসে?

    [Ans:-i)39.2m.ii)2 sec. iii)19.6m. iv)4s v) Zero vi)9.8 s vii)Zero viii) -19.6m/s.]

    2. 39.2 m উচ্চতার একটি বেলুন থেকে একটি পাথরকে ফেলে দেওয়া হল। ভূমিতে পৌঁছাতে কত সময় লাগবে?যদি পাথর ফেলার মুহূর্তে বেলুনটি 
    i)9.8 m/sবেগে ওপরের দিকে গতিশীল
    ii)9.8 m/sবেগে নিচের দিকে গতিশীল 
    iii)স্থির। 
    [Ans:-4s ,2s , $2\sqrt{2}$s ]

    3.একটি টাওয়ারের ওপর থেকে একটি বলকে 19.6m/sবেগে ঊর্ধ্বে  উৎক্ষেপ করা হল। 6s পরে বলটি ভূমিতে পৌছালো টাওয়ারটির উচ্চতা কত?
    [Ans :-58.8m]

    4.স্থিরাবস্থা থেকে অবাধে পতনশীল বস্তু ক্ষেত্রে চতুর্থ ও পঞ্চম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্বের অনুপাত কত হবে?
    [ Ans:-7:9 ]

    5.একটি জলের ট্যাপ থেকে 1s অন্তর একটি করে জলের ফোটা পড়তে থাকে। পঞ্চম ফোটাটি যখন কলের মুখ থেকে বেরিয়ে আসতে  থাকে তখন প্রথম ও তৃতীয় ফোটার অবস্থান কোথায়?
    [Ans:-78.4m,19.6m]

    6.একটি বস্তুকে 45m উঁচু একটি মিনারের উপর থেকে ছেড়ে দেওয়া হল বস্তুটি পতনকালের শেষ দুই সেকেন্ডে কত পথ অতিক্রম করবে?[g=10m/$s^2$]
    [Ans:-40m]
    7.একটি টাওয়ারের উপর থেকে একটি বস্তুকে নিচের দিকে ফেলে দেওয়া হল। বস্তুটির পতনকালের শেষ দুই সেকেন্ডে 40m অতিক্রম করলে টাওয়ারের উচ্চতা কত?[g=10m/$s^2$]                                                                                          
    [Ans:-45m]
    📚 সমাধান

    সমস্যা 1:

    একটি বলকে 19.6 m/s বেগে ঊর্ধ্বে উৎক্ষেপ করা হল এবং এটি মাটিতে ফিরে এল। নিম্নলিখিত রাশিগুলির মান নির্ণয় করো।
    উত্তর:

    প্রদত্ত তথ্য:

    u=19.6 m/s,g=9.8 m/s2u = 19.6 \text{ m/s}, g = 9.8 \text{ m/s}^2

    i) অতিক্রান্ত দূরত্ব

    ${v^2}$=${u ^2}$-$2gh$ সমীকরণ  থেকে লেখা যায় 
    উর্ধ্বগমনকালে বলের সর্বোচ্চ উচ্চতা:

    h=u22g=(19.6)22×9.8=19.6 mh = \frac{u^2}{2g} = \frac{(19.6)^2}{2 \times 9.8} = 19.6 \text{ m}

    মাটিতে ফেরার সময়ও একই দূরত্ব অতিক্রম করবে, সুতরাং মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব:

    s=19.6+19.6=39.2 ms = 19.6 + 19.6 = 39.2 \text{ m}

    ii) $v=u-gt$ সমীকরণ  থেকে লেখা যায় 

    সর্বোচ্চ উচ্চতায় (v=0)পৌঁছাতে প্রয়োজনীয় সময়

    t=ug=19.69.8=2 st = \frac{u}{g} = \frac{19.6}{9.8} = 2 \text{ s}

    iii) সর্বাধিক উচ্চতা

    h=19.6 mh = 19.6 \text{ m}

    iv) পূর্বের অবস্থানে ফিরে আসতে প্রয়োজনীয় সময়=আরোহনকাল +অবতরণ কাল =t+t=2s+2s=4s [যেহেতু আরোহন ও অবতরণ কালের মান  সমান হয় ]

    v) বস্তুর সরণ

    যেহেতু বস্তুটি পূর্বের অবস্থানে ফিরে আসে, তাই মোট সরণ শূন্য।

    vi) গড় দ্রুতি

    vavg=মোট দূরত্বমোট সময়=39.24=9.8 m/sv_{\text{avg}} = \frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{মোট সময়}} = \frac{39.2}{4} = 9.8 \text{ m/s}

    vii) গড় বেগ

    vavg=মোট সরণমোট সময়=04=0v_{\text{avg}} = \frac{\text{মোট সরণ}}{\text{মোট সময়}} = \frac{0}{4} = 0

    viii) $v=u-gt $ 

    $v=u-{g\times\frac{2u}{g}}$

    $v=u-2u$

    $v=-u$

    পূর্বের অবস্থানে ফিরে আসার সময় বেগ

    v=−19.6 m/sv = -19.6 \text{ m/s}

    সমস্যা 2:

    39.2 m উচ্চতার একটি বেলুন থেকে একটি পাথরকে ফেলে দেওয়া হল। ভূমিতে পৌঁছাতে কত সময় লাগবে?

    i) যখন বেলুনের বেগ 9.8 m/s ঊর্ধ্বমুখী

    $h=-ut+\frac{1}{2}g\times{t^2}$ [direction of u is opposite to h and g]
    $39.2= -9.8t+\frac{1}{2}9.8\times{t^2}$ 
    $t^2-2t-8=0$
    t = - 2,4
    t=4 [t can not be negative ]

    ii) যখন বেলুনের বেগ 9.8 m/s নিম্নমুখী

    $h=ut+\frac{1}{2}g\times{t^2}$

    $39.2 = 9.8t+\frac{1}{2}9.8\times{t^2}$ 

    $t^2+2t-8=0$
    t =  2, - 4
    t=2   [t can not be negative ]

    iii) যখন বেলুন স্থির

    $h=\frac{1}{2}g\times{t^2}$
    $39.2 = \frac{1}{2}9.8\times{t^2}$ 
    $t^2=8$
    $t=\sqrt{8}$
    $t=2\sqrt{2}$

    সমস্যা 3:

    একটি টাওয়ারের ওপর থেকে একটি বলকে 19.6 m/s বেগে ঊর্ধ্বে উৎক্ষেপ করা হল। 6s পরে বলটি ভূমিতে পৌছালো। টাওয়ারটির উচ্চতা কত?

    h=-uT+12gT2h = -uT + \frac{1}{2} gT^2
    =-19.6×6+12×9.8×36= 19.6 \times 6 + \frac{1}{2}\times 9.8 \times36
    =-117.6+176.4=58.8 m= -117.6 + 176.4 = 58.8 \text{ m}

    সমস্যা 4:

    স্থিরাবস্থা থেকে অবাধে পতনশীল বস্তু ক্ষেত্রে চতুর্থ ও পঞ্চম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্বের অনুপাত কত হবে?

    n-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত  দূরত্ব:

    sn=u+12g(2n−1)s_n = u + \frac{1}{2} g (2n-1)

    চতুর্থ সেকেন্ডে:

    s4=12×9.8×7=34.3 ms_4 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 7 = 34.3 \text{ m}

    পঞ্চম সেকেন্ডে:

    s5=12×9.8×9=44.1 ms_5 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 9 = 44.1 \text{ m}

    অনুপাত:

    s4s5=79\frac{s_4}{s_5} = \frac{7}{9}

    সমস্যা 5:

    একটি জলের ট্যাপ থেকে 1s অন্তর একটি করে জলের ফোটা পড়তে থাকে। পঞ্চম ফোটাটি যখন কলের মুখ থেকে বেরিয়ে আসতে থাকে তখন প্রথম ও তৃতীয় ফোটার অবস্থান কোথায়?

    প্রথম ফোটার পতনকাল = 4 s

    h=12gt2=12×9.8×16=78.4 mh = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 16 = 78.4 \text{ m}

    তৃতীয় ফোটার পতনকাল = 2 s

    h=12×9.8×4=19.6 mh = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 4 = 19.6 \text{ m}

    সমস্যা 6:

    45 m উঁচু মিনার থেকে ফেলা বস্তুটি পতনের শেষ দুই সেকেন্ডে কত পথ অতিক্রম করবে?

    X=12gt2−12g(t−2)2X = \frac{1}{2} g t^2 - \frac{1}{2} g (t-2)^2
    X=12×10×(32−12)X = \frac{1}{2} \times 10 \times (3^2 - 1^2)
    =40 m= 40 \text{ m}

    সমস্যা 7:

    একটি টাওয়ারের উপর থেকে একটি বস্তুকে নিচের দিকে ফেলে দেওয়া হল। বস্তুটির পতনকালের শেষ দুই সেকেন্ডে 40 m অতিক্রম করলে টাওয়ারের উচ্চতা কত?

    40=$\frac{1}{2}g\times{t^2}-\frac{1}{2}g\times{(t-2)^2}$[t=বস্তুর পতন কাল ] সমীকরণটি সমাধান করে পাওয়া যায়   t=3 ;
    আবার, $h=\frac{1}{2}g\times{t^2}$ সমীকরণে 
    t=3 এবং g=10m/$s^2$বসিয়ে পাওয়া যায় ,
     h=45m.

    টাওয়ারের উচ্চতা 45 m.