একমাত্রিক গতি

(Motion in one dimension)

বস্তুর গতি সম্পর্কিত কয়েকটি রাশি:

সরণ (Displacement)

কোন নির্দিষ্ট দিকে কোন বস্তুর অবস্থান পরিবর্তনকে ওই বস্তুর সরণ বলে।b>বস্তুর প্রাথমিক ও অন্তিম অবস্থানের মধ্যে সরল রৈখিক দূরত্বই হল সরণের পরিমাপ।

  • বস্তু তার প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসলে সরনের মান  শূন্য  হয়। 
  • সরণ এর মান ও অভিমুখ দুই আছে। তাই সরণ একটি ভেক্টর রাশি।

    • সরণের   একক

    •  CGS একক : cm 
    • SI  একক:-m ( মিটার )
    •  মাত্রা:-[$M^0L^1T^{0}$]

     দ্রুতি (Speed) :-একক সময়ে কোন বস্তু কণা যে দূরত্ব অতিক্রম করে তাকে ওই বস্তুকণার দ্রুতি বলা হয়। দ্রুতির মান আছে কিন্তু অভিমুখ নেই। তাই এটি একটি স্কেলার রাশি।

    একটি বস্তু t  সময়ে x দূরত্ব অতিক্রম করলে বস্তুটির দ্রুতি  \(v=\frac{x}{t}\)

     গড় দ্রুতি (Average Speed):-কোন বস্তু দ্বারা  অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব এবং ওই দূরত্ব অতিক্রম করার জন্য প্রয়োজনীয় সময়কালের অনুপাতকে গড় দ্রুতি বলা হয়। 

    একটি গতিশীল বস্তু  \(t_1\) সময়ে \(v_1\)  বেগ নিয়ে \(x_1\) দূরত্ব এবং \(t_2\)  সময় \(v_2\) বেগ নিয়ে \(x_2\)  দূরত্ব অতিক্রম করল।  কণাটির গড় বেগ 

    \(V=\frac{x_1+x_2}{t_1+t_2}\).......i)

    \(V=\frac{v_1t_1+v_2t_2}{t_1+t_2}\)........ii)

    \(V=\frac{x_1+x_2}{\frac{x_1}{v_1}+\frac{x_2}{v_2}}\)......iii)

    বিশেষ ক্ষেত্রে:একটি গাড়ি তার যাত্রা পথের অর্ধেক দূরত্ব  \(v_1\) দ্রুতিতে  এবং বাকি অর্ধেক\(v_2\) গেলে তার গড় দ্রুতি  হবে    \(V=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\)। উপরের iii) সমীকরণে \(x_1\)=\(x_2\) বসলে এটি পাওয়া যাবে।

    তাৎক্ষণিক দ্রুতি (Instantaneous Speed):- একটি বস্তু কণা  ক্ষুদ্র dt সময়ে  dl দূরত্ব অতিক্রম করলে তাৎক্ষণিক দ্রুতি v=$\frac{dl}{dt}$

    দ্রুতির একক;-

    • S.I Unit:- $ms^{-1}$ 
    • C.G.S Unit:-$cms^{-1}$
    • মাত্রা:-[$M^0L^1T^{-1}$]

     বেগ (Velocity):- সময়ের সাপেক্ষে কোন বস্তুর সরণের  হারকে বেগ বলা হয়। অথবা, সময়ের সাপেক্ষে কোন বস্তুর অবস্থান পরিবর্তনের হারকে বেগ বলা হয়। 

    বেগের মান ও অভিমুখ দুই  আছে। তাই বেগ একটি ভেক্টর রাশি। 

    বেগের একক 

    • S.I Unit:- $ms^{-1}$ 
    • C.G.S Unit:-$cms^{-1}$
    • মাত্রা:-[$M^0L^1T^{-1}$]
     গড়বেগ (Average Velocity):-যদি কোন বস্তুর${ t_1}$  সময়ে অবস্থানের \(\vec{r_1}\) এবং\({ t_2}\) সময়ে অবস্থান\(\vec{r_2}\)ও  হয় তবে গড় বেগ  \(\vec{V}\)=\(\frac{\vec{r_2}-\vec{r_1}}{t_2-t_1}\)

    তাৎক্ষণিক বেগ(Instataneous Velocity)

    একটি বস্তুর ক্ষুদ্র dtসময়ে সরণ  ds হলে তাৎক্ষণিক বেগ  V=$\frac{ds}{dt}$

    ত্বরণ(Acceleration):-

    সময়ের সাপেক্ষে কোন বস্তুর বেগ পরিবর্তনের হার কে ত্বরণ বলা হয়। ত্বরণের মান ও অভিমুখ হয়ে আছে।  তাই ত্বরণ একটি ভেক্টর রাশি। 

    একটি বস্তুর প্রাথমিক বেগ $v_1$ ।t সময় পর বস্তুটির বেগ হল $v_2$ ।কণাটির ত্বরণ a =$\frac{V_2-V_1}{t} $

    ত্বরণের একক

    S.I Unit:- $ms^{-2}$ 

    C.G.S Unit:-$cms^{-2}$

     ত্বরণের মাত্রা [\(M^0L^1T^{-2}\)]

    তাৎক্ষণিক ত্বরণ(Instataneous Acceleration): কোন বস্তুর  ক্ষুদ্র dt সময়ে বেগের পরিবর্তন dv হলে  এর তাৎক্ষণিক ত্বরণ a=$\frac{dv}{dt}$

    মন্দন(Retardation or Deceleration) :-সময়ের সাপেক্ষে কোন বস্তুর বেগ হ্রাসের  হারকে মন্দন  বলা হয়।  মন্দন প্রকৃতপক্ষে ঋণাত্মক ত্বরণ।  মন্দন ভেক্টর রাশি। 

    এর একক ও মাত্রা ত্বরণের একক ও মাত্রার অনুরূপ। 

    Example:-

    1.একটি গাড়ি 36km/h দ্রুতিতে  x km গেল এবং 45km/h দ্রুতিতে  পরবর্তী x km গেল। গাড়ির গড় দ্রুতি কত?

    a)40.5km/h 

    b)40 km/h 

    c)42 km/h 

    d) x  এর উপর নির্ভরশীল।                  [Ans:-b)40 km/h]

    [সমাধান:

     গড় দ্রুতি, 

    \( v_{avg} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} \) 

     \( v_{avg} = \frac{2 \times 36 \times 45}{36 + 45} \) 

     \( v_{avg} = \frac{3240}{81} = 40 \) কিমি/ঘণ্টা

     উত্তর: (b) 40 km/h]


    2.এক ব্যক্তি বাড়ি থেকে 40 km/h বেগে বাজারে গেলেন এবং 60 km/h বেগে বাজার থেকে বাড়ি ফিরে  এলেন। ব্যক্তির গড় দ্রুতি  ও গড়বেগ  হবে যথাক্রমে -
    a)48 km/h, 0         b)28km/h, 0         c)38km/h , 0     d)50 km/h ,0 .

    Sol: গড় দ্রুতি নির্ণয়:\(V_{avg}=\frac{total distance}{Total time}\)

    ধরি, বাজারের দূরত্ব =d

    বাজারে যাওয়ার সময়: \(t_1=\frac{d}{40}\)

     ফেরার  সময় \(t_2=\frac{d}{60}\)

    মোট দূরত্ব =d+d=2d

    মোট সময় \(t=t_{1}+t_{2}\)=\(\frac{d}{40}\)+\(\frac{d}{60}\)=\(\frac{5d}{120}\)=\(\frac{d}{24}\)

    \(V_{avg}=\frac{2d}{\frac{d}{24}}=48km/h\)

    ২. গড়বেগ নির্ণয়:-

    গড়বেগ নির্ণয়:

    \(V_{avg}=\frac{total  displacement}{Total  time}\)

    যেহেতু ব্যক্তি একই স্থানে ফিরে এসেছেন, সামগ্রিক সরণ 0 হবে।সুতরাং গড়বেগ =০। 

    সঠিক উত্তর:

    (a) 48 km/h, 0


    [Ans:-a)48 km/h, 0]
    3.একটি গাড়ি সোজা রাস্তা বরাবর প্রথম   t সময়ব্যাপী \(v_1\)সুষম গতিবেগে  চলে পরে t সময়ব্যাপী \(v_2\)  গতিবেগ নিয়ে চলল। গাড়ির গড় গতিবেগ কত ?

    a)$\sqrt{v_1v_2}$    

    b)$\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}$   

    c) $\frac{1}{2}$ $\left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right) $) 

    d)$\frac{v_1+v_2}{2}$

    [Ans:- d)$\frac{v_1+v_2}{2}$]

    [ সমাধান:-  প্রথম t সময়ে, অতিক্রান্ত দূরত্ব: \( d_1 = v_1 t \)

    পরবর্তী t সময়ে, অতিক্রান্ত দূরত্ব: \( d_2 = v_2 t \)

    মোট দূরত্ব: \( d = d_1 + d_2 = v_1 t + v_2 t = (v_1 + v_2)t \)

    মোট সময়: \( T = t + t = 2t \)

    গড় দ্রুতি, \( v_{avg} = \frac{Total distance}{Total time} = \frac{(v_1 + v_2)t}{2t} = \frac{v_1 + v_2}{2} \) ]

      গতির সমীকরণ(Equations of motion):-

    বস্তু a ত্বরণে গতিশীল হলে 

    •  \( v = u + at \)
    •  \( s = ut + \frac{1}{2} a t^2 \)
    •  \( v^2 = u^2 + 2as \)
    •  \( s_n = u + \frac{1}{2} a (2n - 1) \)

    [ u=বস্তুর প্রাথমিক বেগ ,v=বস্তুর অন্তিম  বেগ ,a =ত্বরণ ,S=অতিক্রান্ত দূরত্ব 

    $S_n$= n ত ম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব  ]

    বস্তু a মন্দনে গতিশীল হলে 
    •  \( v = u - at \)
    •  \( s = ut - \frac{1}{2} a t^2 \)
    •  \( v^2 = u^2 +-2as \)
    •  \( s_n = u - \frac{1}{2} a (2n - 1) \)

    • অভিকর্ষের অধীনে অবাধে পতনশীল বস্তুর গতির সমীকরণ 
    • \( v = u + g t \)
    •  \( s = ut + \frac{1}{2} g  t^2 \)
    •  \( v^2 = u^2 + 2as \)
    •  \( s_n = u + \frac{1}{2} a (2n - 1) \)
    • ভূপৃষ্ঠ থেকে উর্ধে উৎক্ষিপ্ত বস্তুর ক্ষেত্রে গতির সমীকরণ 
    • \( v = u -gt \)
    •  \( s = ut - \frac{1}{2} g t^2 \)
    •  \( v^2 = u^2 - 2gh \)
    •  \( s_n = u + \frac{1}{2} g (2n - 1) \)</p>
    কয়েকটি  জ্ঞাতব্য বিষয় 

    • চলন গতিতে দিক অপরিবর্তিত থাকে ও ঘূর্ণন গতিতে ঘূর্নাক্ষ  অপরিবর্তিত থাকে।
    • একটি গতিশীল বস্তুর ত্বরণের  ও বেগের অভিমুখ বিপরীত হতে পারে। যেমন মন্দন নিয়ে   গতিশীল বস্তুর বেগের অভিমুখ ও  ত্বরণের  অভিমুখ বিপরীত হয়। 
    • ত্বরণের দিক বেগের দিকে হলে বেগ বৃদ্ধিপায়। 
    • উপরের দুটি ক্ষেত্রে বস্তুর গতিপথ সরলরেখা হয়। 
    • ত্বরণের  অভিমুখ বেগের অভিমুখের লম্ব দিকে হলে বেগের মানের  পরিবর্তন হয় না  কেবল মাত্র দিকের পরিবর্তন হয়। এক্ষেত্রে বস্তুটি বৃত্ত পথে আবর্তন করে।অর্থাৎ কোনো গতিশীল কণার ত্বরণ আছে কিন্তু বেগের মান ধ্রুবক এটি হতে পারে।সমবৃত্তীয়  গতির ক্ষেত্রে অর্থাৎ সমদ্রুতিতে বৃত্ত পথে আবর্তনের ক্ষেত্রে এটি ঘটে। 
    • কোনো বস্তুর গতি দ্বিমাত্রিক কিন্তু ত্বরণ  একমাত্রিক -হতে পারে।যেমন প্রাসের গতি।  
    • একই দিক, বিপরীত দিক, লম্বা দিক ব্যাতিত অন্যান্য দিকের ক্ষেত্রে কন্যার গতিপথ বিভিন্ন হয়। যেমন প্রাসের গতিপথ অধিবৃত্তাকার। 
    • নির্দেশতন্ত্রের উপর নির্ভর করে একটি বস্তু একই সাথে স্থির ও গতিশীল অবস্থায় থাকতে পারে। 
    • সমবেগে গতিশীল বস্তুর গড় বেগ  ও তাৎক্ষণিক বেগের মান সমান হয়। 
    • গাড়ির স্পিডোমিটার গাড়ির তাৎক্ষণিক দ্রুতি  পরিমাপ করে। 
    • একটি কণা  v দ্রুতিতে একটি বৃত্তাকার পথে চলছে।  ওই পথের যেকোন ব্যসের দুই প্রান্তের বেগের পার্থক্য হল 2v । 
    • গাড়ীর বেগ n গুন্ করা হলে থামানোর দূরত্ব \(n^2\) গুন্ করতে হয়। 
    • স্থির অবস্থা থেকে সমত্বরনে গতিশীল কোনো কণা বা অভিকর্ষের অধীনে আবাদে পতনশীল কোনো কণার গতির প্রথম, দ্বিতীয় ,তৃতীয় .....n সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্বের অনুপাত হয় 1;3:5:......:(2n-1) ।
    • একটি বুলেট কোনো লক্ষ বস্তুতে x দূরত্ব প্রবেশ করে 50% বেগ হারালে আরো x/3 দূরত্ব প্রবেশ করার পর থেমে  যাবে। 
    • কয়েকটি  জ্ঞাতব্য বিষয় 
    • একটি গতিশীল বস্তুর ত্বরণের  ও বেগের অভিমুখ বিপরীত হতে পারে। যেমন মন্দন নিয়ে   গতিশীল বস্তুর বেগের অভিমুখ ও  ত্বরণের  অভিমুখ বিপরীত হয়। 

    কয়েকটি গাণিতিক সমস্যা 
    • Q:-1একটি বুলেট u প্রাথমিক বেগে একটি লক্ষবস্তুতে প্রবেশ করে। x দূরত্ব যাওয়ার পর এটির বেগ u /n  পায়। বুলেটটি আর কত দূর অগ্রসর হওয়ার পর থেমে  যাবে?
    [Ans:-\(y=\frac{x(n-1)^2}{(2n-1)}\)]
    • Q:-2.একটি বুলেট একটি লক্ষ্য বস্তুর মধ্যে 30cmপ্রবেশ করার পর 50% বেগ হারায়।আর কত দূর যাওয়ার পর এটি থেমে  যাবে?
    [Ans:-10cm]
    • Q:-3.একটি বুলেট কাঠের মধ্যে 1 cm প্রবেশ করার পর বেগ অর্ধেক হারায়।বুলেটটি আর কত দূর প্রবেশ করার পর থেমে  যাবে?
    [Ans :-1/3cm]
      সমাধান
     প্রশ্ন 1: একটি বুলেট u প্রাথমিক বেগে একটি লক্ষবস্তুতে প্রবেশ করে। x দূরত্ব যাওয়ার পর এটির বেগ u/n হয়ে যায়। বুলেটটি আর কত দূর অগ্রসর হওয়ার পর থেমে যাবে? 
    সমাধান: 
    আমরা জানি,  \( v^2 = u^2 - 2as \) 
     প্রথম অবস্থায়, 
    \( (u/n)^2 = u^2 - 2ax \)
    \( u^2/n^2 = u^2 - 2ax \) 
     \( 2ax = u^2 - u^2/n^2 \) 
     \( a = \frac{u^2 (1 - 1/n^2)}{2x} \) 
     বুলেট থামার জন্য, 
    \( 0 = u^2 - 2a(y + x) \) 
     \( 2a(y + x) = u^2 \)
     \( y + x = \frac{u^2}{2a} \) 
     \( y + x = \frac{2x}{(1 - 1/n^2)} \) 
     \( y = \frac{x(n-1)^2}{2n-1} \) 
     প্রশ্ন 2: একটি বুলেট একটি লক্ষ্য বস্তুর মধ্যে 30 সেমি প্রবেশ করার পর 50% বেগ হারায়। আর কত দূর যাওয়ার পর এটি থেমে যাবে?
     সমাধান: 
    বেগ 50% কমলে, \( u/2 \) হয়ে যায়।
     প্রথম ক্ষেত্রে: 
    \( (u/2)^2 = u^2 - 2ax \)
     \( u^2/4 = u^2 - 2a(30) \) 
     \( 2a(30) = 3u^2/4 \) 
     \( a = \frac{3u^2}{8 \times 30} \)
    \(a=\frac{u^2}{80}\)
     বুলেট থামার জন্য:
     \( 0 = u^2 - 2a(30 + y) \)
     \( 2a(30 + y) = u^2 \) 
     \( 30 + y = \frac{u^2}{2a} \)
    \(30+y=\frac{u^2\times80}{u^2\times2}\)
    \(30+y=40\) 
     \( y = 10 \) সেমি 
     প্রশ্ন 3: একটি বুলেট কাঠের মধ্যে 1 সেমি প্রবেশ করার পর বেগ অর্ধেক হারায়। বুলেটটি আর কত দূর প্রবেশ করার পর থেমে যাবে? 
    সমাধান:
     বেগ অর্ধেক হলে, \( v = u/2 \) 
     প্রথম ক্ষেত্রে: 
    \( (u/2)^2 = u^2 - 2a(1) \) 
     \( u^2/4 = u^2 - 2a \) 
     \( 2a = 3u^2/4 \) 
     \( a = 3u^2/8 \)
     থামার অবস্থায়: 
    \( 0 = u^2 - 2a(1 + y) \) 
     \( 2a(1 + y) = u^2 \) 
     \( 1 + y = \frac{u^2}{2a} \) 
    \(1+y=\frac{u^2\times8}{2u^2\times3}\)
    \(1+y=\frac{4}{3}\)
     \( y = 1/3 \) সেমি